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在數(shù)學(xué)中，三角形的高線（或稱高、垂線）是過它的一個(gè)頂點(diǎn)的垂直于對邊的直線，或這條直線上從頂點(diǎn)到與對邊交點(diǎn)之間的線段。高線與對邊的交點(diǎn)稱為垂足。過一個(gè)頂點(diǎn)的高線的長度被稱為三角形的關(guān)于這個(gè)頂點(diǎn)（或關(guān)于對邊）的高。
三角形的三條高線交于一點(diǎn)，稱為三角形的垂心，一般記作H。銳角三角形三條高線以及垂心都在其內(nèi)部，直角三角形的垂心是斜邊所對的頂點(diǎn)（直角頂點(diǎn)），鈍角三角形的垂心和兩條高線在其外部。
三角形的高可以用來計(jì)算其面積：三角形的面積S 等于過一個(gè)頂點(diǎn)的高乘以對邊的長度再除以2：其中a 為某一條邊的邊長，ha 為所對的頂點(diǎn)的高。 性質(zhì)
如果三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，那么過A點(diǎn)的高線與過A點(diǎn)的中線重合。 歐拉定理斷言，三角形的重心G、外心O 和垂心H 共線（稱為歐拉線），并且重心是連接外心和垂心的線段的一個(gè)三等分點(diǎn)：HG =2GO 垂心將高線分成的兩段的乘積相等：如右圖中， 三角形的垂心到一邊的距離，等于將這邊上的高線的延長線從垂足到外接圓的長度。
外心O 和垂心H 為等角共軛點(diǎn)。 三角形的三個(gè)垂足都在九點(diǎn)圓的圓周上。每個(gè)頂點(diǎn)和垂心所連成的線段的中 點(diǎn)也在九點(diǎn)圓上。實(shí)際上，九點(diǎn)圓的九個(gè)點(diǎn)就是三邊的中點(diǎn)和以上的六個(gè)點(diǎn)。九點(diǎn)圓的圓心也在歐拉線上，并且在垂心到外心的線段的中點(diǎn)。此外九點(diǎn)圓平分垂心與外接圓上的任一點(diǎn)的連線。 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)和垂心構(gòu)成一個(gè)垂心組。
垂心的垂足三角形
過平面上一點(diǎn)P 分別做垂直于三角形每條邊的垂線，與這條邊相交于一點(diǎn)（垂足）。這三個(gè)點(diǎn)連成的三角形稱為點(diǎn)P 的垂足三角形。垂心H 的垂足三角形是H1H2H3。H 是三角形H1H2H3的內(nèi)心，而三角形A1A2A3的三個(gè)頂點(diǎn)是三角形H1H2H3的三個(gè)旁心。
在所有內(nèi)接于一個(gè)銳角三角形A1A2A3的三角形中，其垂心的垂足三角形H1H2H3的周長較小。
一個(gè)三角形的垂心的垂足三角形的各個(gè)邊分別平行于三角形的外接圓在各個(gè)頂點(diǎn)處的切線。

在三角形A1A2A3中，三角形A1H2H3、三角形H1A2H3和三角形H1H2A3的外接圓交于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是A1A2A3的垂心H。

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